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在凝聚态物理和光子学领域，科学家们一直在探索具有特殊性质的材料和结构，以实现更高效、更稳定的光电器件。其中“平带系统”（flatband）因其独特的性质而备受关注：它们具有无色散的能谱和零群速度——就像被围栏围住的羊群无法自由移动一样，平带中的光子和电子会被束缚在特定空间内无法扩散传播。这种独特的局域化特性使得平带系统在光通信、量子计算和新型材料设计中具有重要应用前景。

然而，平带系统也有其脆弱性：它们对材料中的缺陷和杂质非常敏感，就像围栏一旦出现缺口，被束缚的羊群就会四散逃离一样。这种敏感性严重限制了它们在实际技术中的应用。与此同时，拓扑相的概念引起了科学家们的极大兴趣：拓扑相由全局拓扑不变量保护，即使存在无序也能保持其特性。拓扑激光器、太赫兹传输和量子光子学等应用已经证明了这种鲁棒性的价值。

近日，南开大学陈志刚和夏士齐教授团队在具有手性对称性的“光子石墨烯”中首次观察到这种双重简并拓扑平带边缘态。这一发现不仅丰富了我们对物质拓扑状态的理解，还为开发更高效、更稳定的光子器件提供了新的思路，相关成果以“Observation of doubly degenerate topological flatbands of edge states in strained graphene”为题发表在Advanced Photonics 2025年第4期。

蜂窝晶格：光子学的"石墨烯"

要理解这项研究，我们首先需要了解一个基本的物理结构——蜂窝晶格。这种由六边形单元组成的结构不仅是石墨烯的基本构成单元，也是许多光子学模拟实验的基础。

图1 光子石墨烯及其拓扑特性

如图1（b）所示，蜂窝晶格的基本结构是由黑色和白色小球按照六边形模式排列组成的“棋盘”，它的边缘则被称为“Twig”边界——这一边界构成了某些特殊光子模式的传输通道。值得注意的是，蜂窝晶格中两条相邻边的耦合分别用t_a和t_b表示，它们的比值δ=t_b/t_a被定义为应变系数。

为了描述蜂窝晶格的拓扑性质，研究人员使用了一个重要的概念：绕数——这是一个用来判定一个系统是否具有拓扑保护特性的指标。绕数的计算涉及到哈密顿量在动量空间中的绕行行为。例如，如图1（a2）所示，在（σ_x，σ_y）空间中环绕原点的圈只有一个，因此该系统的绕数为1；而如图1（d2）所示，在应变系数为3的系统中，系统的绕数为2。从图1（c）可以看出，系统绕数的增加意味着该系统存在的由拓扑保护的边缘态态密度（Density of states）也随之增加。

拓扑特性的演化 

要理解双重简并拓扑平带的形成机制，需要从蜂窝晶格的对称性和能带拓扑特性入手。图2通过展示不同应变条件下哈密顿量向量场的绕行轨迹，直观呈现了绕数与平带的演化过程。

图2 不同应变条件下“光子石墨烯”的特性演化

在无应变状态（δ=1）的原始蜂窝晶格中，狄拉克点位于布里渊区顶点（K点）。图2（a2）显示哈密顿量向量场在倒易空间形成单环绕行轨迹，绕数w=1。此时仅存在单一拓扑平带，对应图2（a1）中的绿色线条。

当施加单轴应变导致δ>1时，图2（b2）红色/蓝色箭头显示狄拉克点沿布里渊区边界发生移动。应变改变了原子间耦合强度分布，使能带结构发生变化，特别是边界能带上。向量场在部分动量空间区域（即红色阴影区域）形成的双环轨迹均环绕原点，导致该区域绕数w=2，从而产生如图2（b1）中的红色线条展示的第二种边缘态。

随着晶格应变的进一步扩大到临界值时（δ=2），如图2（c2）左下角插图所示，两个狄拉克点在M点发生合并，导致图2（c1）所示的能带结构发生三个根本性的变化：合并后的狄拉克点分裂并形成带隙；向量场绕行轨迹在全部动量空间形成双环；绕数在整个布里渊区内恒定为2。如图2（c1）中的绿/红色线条所示，最终该系统形成双重简并拓扑平带，这种简并性使得零能模式的态密度加倍。

光子“仓库” 

为了验证这些理论预测，研究人员使用连续波激光直写技术在非线性晶体中制造了具有“twig”边界条件的蜂窝晶格。通过精确控制激光写入过程，研究人员成功制备了具有不同耦合比的晶格，以模拟光子晶格未受应变和受应变的情况。

图3 不同应变条件下的边缘态传播特征

接下来，研究人员使用空间光调制器生成具有特定振幅和相位分布的探测光束，以匹配理论上计算的边缘模式特征。如图3所示，研究人员在不同δ条件下，观察光波在晶格边缘的传播情况。实验结果证实，在未受应变的情况下，只存在一种拓扑边缘态；而在受应变且带隙打开后，可以观察到两种不同的边缘态，它们在整个一维布里渊区都表现出平带特性。

图4 “光子石墨烯”中的局域化边缘态

这些由拓扑保护的边缘态在应变条件下会演出为两种不同的局域化边缘态(compact edge states，CES)，它们就像是光子“专用仓库”。如图4（a3）~（c3）所示，经过特殊调制成CES模式的光子在实空间中高度局域化，只占据晶格边界上的几个位置；而图4（a4）~（c4）所示的普通光场模式则会扩散到体晶格中。

此外，研究人员还发现，任何两种CES模式的线性组合都可以作为结构的本征模实现空间局域化，因此可以通过调节两种CES模式的比例来精确控制边缘态的强度分布。

“平带”不平凡 

这项研究首次通过引入结构应变在具有手性对称性的“光子石墨烯”中观察到了双重简并拓扑平带边缘态，为光子学领域带来了新的突破。双重简并性不仅显著提升了零能模式的态密度，还支持两种独特的局域边缘态，为光场调控提供了更丰富的物理基础。

在应用层面，这一发现为增强拓扑态的态密度开辟了新途径，有望在慢光效应中实现更高效的光传输控制，在光与物质相互作用中提升非线性光学效应，并在无色散图像传输领域推动高保真信息传递的发展。此外，双重简并拓扑平带为探索非阿贝尔物理现象提供了新的实验平台，为拓扑激光器的设计注入新思路，并可能催生基于拓扑保护的高稳定性光子器件，助力未来量子计算和光通信技术的革新。